Solución numérica de la ecuación de Laplace

Abstract

En Física los problemas que involucran la resolución de ecuaciones diferenciales aparecen en casi todas las asignaturas de la especialidad. En muchos casos de interés la solución matemática exacta no puede lograrse. Debemos por tanto enfocar la situación desde otro punto de vista. Los métodos numéricos son una poderosa herramienta para lograr nuestro cometido. En general son sencillos de programar, aunque poseen ciertas dificultades a las que no nos referiremos aquí. Resolver una ecuación diferencial a través de un método numérico significa encontrar el valor aproximado de la función incógnita de la ecuación para un conjunto discreto de valores de la(s) variable(s) independiente(s). Siempre que he podido he introducido en los cursos que imparto en el Instituto de Profesores alguna situación para la cual sea necesario utilizar algún método numérico para su resolución. Esto me permite presentarles a los alumnos algunas técnicas de programación en la computadora. La adquisición de estas herramientas será sin duda extremadamente útil en su futura labor como docente. En este artículo utilizaremos un método numérico para determinar la solución aproximada de la ecuación de Laplace. La ecuación de Laplace es una ecuación diferencial en derivadas parciales que aparece es diferentes áreas de la Física y la Ingeniería como por ejemplo en Electromagnetismo, la Mecánica de los Fluidos, y la Conducción del Calor. Su solución en una región queda determinada si se conocen ciertas condiciones que la función desconocida debe verificar en la frontera de dicha región