Forma de Jordan de matrices y aplicaciones a las ecuaciones diferenciales

Abstract

Nuestro principal objetivo es comprender como se construye la forma de Jordan de una matriz y ver como aplicarla para resolver ecuaciones diferenciales. Concretamente se van a estudiar los siguientes temas: 1. Forma de Jordan. 2. Exponencial matricial. 3. Ecuaciones diferenciales lineales con coe cientes constantes de orden arbitrario y sistemas cuadrados de ecuaciones diferenciales con coe cientes constantes. El primer tema es de algebra lineal avanzada, pero no suele verse en los cursos de formaci on de profesores. En este trabajo probaremos la existencia de la forma de Jordan de una matriz sin usar transformaciones lineales. Este es un enfoque que no es com un de encontrar en los libros de texto sobre el tema. El segundo implica un poco de an alisis, dado que la exponencial matricial se de ne mediante una serie en un espacio matricial. Los dos temas anteriores est an vinculados dado que la forma de Jordan se usa para simpli car el c alculo de la exponencial. El tercero consiste en el estudio de los sistemas lineales de ecuaciones diferenciales de primer orden a coe cientes constantes; ac a veremos que su resoluci on pasa por calcular la exponencial de una matriz; y luego veremos que se puede reducir una ecuaci on diferencial lineal de orden n a un sistema de n ecuaciones lineales de primer orden, y a partir de ah deduciremos como obtener sus soluciones. Prerrequisitos: conocimientos b asicos de algebra lineal, suma directa, diagonalizaci on, etc., algo de an alisis en espacios normados (para la exponencial matricial) y nociones b asicas de ecuaciones diferenciales y cierta familiaridad con el tema. En esta tesina trabajaremos siempre sobre los n umeros reales o complejos y K denotar a a R o C.