Algunos tópicos sobre Sistemas Dinámicos: Homeomorfismos en el círculo S 1

Abstract

El presente trabajo se realizó teniendo en cuenta que quizás el lector no tiene conocimientos previos sobre sistemas dinámicos como tales, aunque sí una noción sobre la resolución de ecuaciones diferenciales y su estudio cualitativo, así como también conocimientos básicos de la teoría de los espacios métricos. En el primer capítulo se comienza con una breve introducción al tema, desde el punto de vista de la evolución histórica y la motivación del estudio de los Sistemas Dinámicos, sobre la base de un par de ejemplos ilustrativos del contenido teórico que se desarrollará posteriormente, adelantando informalmente algunos conceptos que luego se introducirán con toda rigurosidad. En el segundo capitulo se introducirán los sistemas dinámicos en su forma más general discutiendo diferentes tipos de sistemas dinámicos, de modo de ubicar dentro de la teoría general el caso que se pretende abordar, que es el de los sistemas dinámicos autónomos continuos invertibles de tiempo discreto en espacios métricos. El capitulo contiene un apartado recolectando las definiciones y propiedades fundamentales de la teoría de los espacios métricos, los cuales se toman como conocimientos previos requeridos y en los que se basará el desarrollo posterior. Finalmente se presentan, para el caso que se pretende abordar, las primeras definiciones y propiedades de índole general de la teoría de los sistemas dinámicos. En un tercer y último capítulo, se considerará el caso particular de los homeomorfismos del circulo. Se estudiará el concepto de número de rotación para estos homeomorfismos y se los clasificará en clases de conjugación en función de ese invariante. Este resultado de clasificación topológica será el objetivo central de la Tesina. Posteriormente se considerara un importante ejemplo de sistema dinámico en el circulo que ilustra los resultados de clasificación antes mencionados: el ejemplo de Denjoy. Se pretende que la Tesina sea autocontenida y que sirva como lectura introductoria a la teoría de los sistemas dinámicos.