La Integral de Lebesgue: un viaje a través de la Medida y la Integración

Abstract

Se considera que en el siglo XVII se produce el nacimiento del Cálculo, principalmente por los trabajos de Leibniz y Newton, lo que da las herramientas necesarias para el desarrollo de teorías de las Integrales. Tal vez las más conocidas son las presentadas por Cauchy y más tarde, generalizando lo hecho por Cauchy, la desarrollada por Riemann, aunque dichas teorías fueron enriquecidas por otros matemáticos. Con el objetivo de obtener una teoría integral más general que responda a problemas que las ideas de Riemann no, Lebesgue presenta en 1902 su teoría de las integrales. En estas primeras notas, Lebesgue brinda un resumen de su teoría y los argumentos que hacen de dicha teoría relevante tanto para la matemática en sí como para otros campos de investigación. Con las ideas presentadas por Lebesgue, no sólo se obtiene una teoría de las integrales más amplia, sino que se brindan las herramientas para el desarrollo de la Teoría de la Medida. En este trabajo se presentarán algunos de los principales trabajos matemáticos que propiciaron las condiciones, tanto en cuánto la motivación como a herramientas necesarias, para que Lebesgue estableciera su teoría. Luego se citará una traducción de las notas presentadas por Lebesgue y se realizará un breve análisis. El resto del trabajo consiste en mostrar cómo el trabajo de Lebesgue se presenta en la actualidad en los libros de texto, luego de que matemáticos posteriores continuaran realizando aportes y profundizando en sus ideas. En particular conceptos como los de Álgebra de conjuntos 𝜎- álgebra, pre-medida, medida, conjuntos medibles e integral con respecto a una medida. Además de dichos conceptos se presentarán algunos de los resultados que hicieron muy pertinente el trabajo de Lebesgue, desde la perspectiva actual, y su justificación. El objetivo de este trabajo es presentar las ideas de Lebesgue, cómo se reflejan dichas ideas en la actualidad y cuál es su pertinencia. Sin dudas que hay mucho desarrollo matemático y aplicaciones de las ideas de Lebesgue que no aparecerán en este trabajo, pero la idea es presentar un primer acercamiento, de forma general, de la integral de Lebesgue.